On Set-Valued Derivations Modulo K
Abstract
<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a real vector metric space and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K\subset Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a closed convex cone with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K\cap (-K)=\{0\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We study properties of set-valued maps <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F\colon\mathbb{R}\to 2^Y\setminus\{\emptyset\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace width="0.1111em"/> <mml:mo lspace="0em" rspace="0.17em"/> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">:</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∖</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which are additive modulo <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , i.e. <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F(x+y)+K=F(x)+F(y)+K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x,y\in \mathbb{R}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and satisfy condition <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F(xy)+K=xF(y)+yF(x)+K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x,y\in [0,\infty)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> (or <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x,y\in \mathbb{R}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ). Such maps are called set-valued derivations modulo <jats:inline-formula> <jats:alternatives>