Generators and splitting fields of certain elliptic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow>

Abstract

<jats:p> Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be a number field and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℰ</mml:mi> </mml:math> be an elliptic curve defined over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> that is isomorphic to the generic fiber of an elliptic surface <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒮</mml:mi> <mml:mi>ℰ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>ℙ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> . For any extension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> , the set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℰ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -rational points of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℰ</mml:mi> </mml:math> is known to be a finitely generated abelian group. The splitting field of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℰ</mml:mi> </mml:math> defined over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the smallest finite extension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℰ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>ℰ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we consider the elliptic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> surfaces defined over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ℚ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with the generic fiber given by the Weierstrass equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℰ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and determine the splitting field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , and find an explicit set of linearly independent generators for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℰ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒦</mml:mi> <mml:mi>𝓃</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . </jats:p>