A family of highest weight categories of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi>

Abstract

<jats:p> We study a family of categories of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -modules depending on the choice of a Levy-type subalgebra. More precisely for a fixed choice of Cartan, Borel and Levi-type subalgebras <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔥</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>𝔟</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝔩</mml:mi> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔩</mml:mi> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>ℕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we define <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="sans-serif">LA</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>𝔩</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to be the category of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝔥</mml:mi> </mml:math> -semisimple, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝔫</mml:mi> </mml:math> -torsion modules that satisfy a certain “large annihilator condition” when seen as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝔩</mml:mi> </mml:math> -modules. </jats:p> <jats:p> We see these categories as various analogues of the BGG category <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>𝒪</mml:mi> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Our main result is that the category <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="sans-serif">LA</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>𝔩</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a highest weight category in the sense of Cline, Parshall and Scott. We compute the simple multiplicities of standard objects and the standard multiplicities in injective objects explicitly, prove a version of BGG reciprocity, and present the irreducible blocks of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="sans-serif">LA</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>𝔩</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>𝔤𝔩</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . </jats:p>