Marching faster in time: advanced time-integration for incompressible flows

Abstract

(English) The computational cost of scale-resolving simulations of incompressible flows, such as Direct Numerical Simulation (DNS) and Large-Eddy Simulation (LES), is largely dictated by the temporal integration of the incompressible Navier-Stokes equations. Traditional timestepping strategies often rely on conservative stability criteria, such as the standard Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition, which typically underestimates the maximum stable timestep by neglecting the complex interplay between convective and diffusive scales. This thesis addresses the challenge of "marching faster in time" by developing a framework that integrates stability-aware adaptive timesteppting with hardware-optimized sparse linear algebra techniques. The first part of this thesis focuses on the development and extension of self-adaptive time integration methods based on the spectral analysis of the governing operators. By implementing algorithms such as AlgEigCD on staggered grids, it is shown that the maximum stable timestep can be accurately determined by tracking the evolution of the operators’ eigenvalues, rather than relying on the conservative CFL condition. This approach allows for significantly larger timesteps without compromising stability or accuracy, leading to substantial reductions in computational time for incompressible flow simulations, without sacrificing the fidelity of the results. Furthermore, this thesis extends these concepts to the realm of reduced-order modeling (ROM). Using Poincaré’s separation theorem for singular values, a theoretical foundation is established to prove that the stability limits of the reduced convective operators are bounded by those of the full-order system. The resulting RedEigCD algorithm enables ROMs to sustain larger timesteps, effectively leveraging their lower dimensionality to further reduce total wall-clock time. Finally, the research addresses the hardware-level bottleneck inherent in modern CFD solvers, which are frequently limited by memory bandwidth during sparse algebraic operations. By exploiting the repeated matrix structure found in parallel-in-time ensemble averaging simulations, sparse matrix-vector products are replaced by sparse matrix-matrix products. This transformation increases the arithmetic intensity of the computations, enabling higher performance on modern hardware architectures. The effectiveness of these combined mathematical and computational strategies is validated through a series of academic and industrial test cases, demonstrating that significant speedups can be achieved without compromising the accuracy or stability of the simulations. This work provides a practical pathway for accelerating CFD simulations in real-world applications, while also contributing to the theoretical understanding of stability in numerical methods for incompressible flows. (Català) El cost computacional de les simulacions de fluxos incompressibles que resolen les escales turbulentes, com la Simulació Numèrica Directa (DNS) de la turbulència i el mètode Large-Eddy Simulation (LES), està dictat en gran mesura per la integració temporal de les equacions de Navier-Stokes incompressibles. Les estratègies tradicionals d'avanç temporal sovint depenen de criteris d'estabilitat conservadors, com la condició estàndard de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), que típicament subestima el pas de temps màxim estable en ignorar la complexa interacció entre les escales convectives i difusives. Aquesta tesi aborda el desafiament d'"avançar més ràpid en el temps" mitjançant el desenvolupament d'un marc que integra un pas de temps adaptatiu basat en l'estabilitat amb tècniques d'àlgebra lineal dispersa optimitzades per al maquinari. La primera part d'aquesta tesi se centra en el desenvolupament i l'extensió de mètodes d'integració temporal autoadaptatius basats en l'anàlisi espectral dels operadors que governen les equacions. En implementar algorismes com AlgEigCD en malles staggered, es demostra que el pas de temps màxim estable es pot determinar amb precisió analitzant l'evolució dels valors propis dels operadors, en lloc de dependre de la condició conservadora CFL. Aquest enfocament permet passos de temps significativament majors sense comprometre l'estabilitat o la precisió del mètode, la qual cosa porta a reduccions substancials en el temps computacional per a les simulacions de fluxos incompressibles, sense sacrificar la precisió dels resultats. Així mateix, aquesta tesi estén aquests conceptes a l'àmbit del modelatge d'ordre reduït (ROM, per les seves sigles en anglès). Utilitzant el teorema de separació de Poincaré per a valors singulars, s'estableix una base teòrica per demostrar que els límits d'estabilitat dels operadors convectius reduïts estan acotats pels del sistema d'ordre complet. L'algorisme RedEigCD resultant permet als ROM sostenir passos de temps més grans, aprofitant de manera efectiva la seva menor dimensionalitat per reduir encara més el temps total d'execució. Finalment, la investigació aborda el coll d'ampolla a nivell de maquinari inherent als solvers de CFD moderns, que freqüentment es veuen limitats per l'ample de banda de la memòria durant les operacions algebraiques disperses. En explotar l'estructura matricial repetida que es troba simulant múltiples estats de flux simultàniament en el temps, els productes matriu esparsa-vector es reemplacen per productes matriu esparsa-matriu. Aquesta transformació augmenta la intensitat aritmètica dels càlculs, permetent un major rendiment en les arquitectures de maquinari modernes. L'efectivitat d'aquestes estratègies matemàtiques i computacionals combinades es valida a través d'una sèrie de casos de prova acadèmics i industrials, demostrant que es poden aconseguir acceleracions significatives sense comprometre la precisió o l'estabilitat de les simulacions. Aquest treball proporciona un camí pràctic per accelerar les simulacions CFD en aplicacions del món real, al mateix temps que contribueix a la comprensió teòrica de l'estabilitat en els mètodes numèrics per a fluxos incompressibles. (Español) El coste computacional de las simulaciones de flujos incompresibles que resuelven las escalas turbulentas, como la Simulación Numérica Directa (DNS) de la turbulencia y el método Large-Eddy Simulation (LES), está dictado en gran medida por la integración temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles. Las estrategias tradicionales de avance temporal a menudo dependen de criterios de estabilidad conservadores, como la condición estándar de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), que típicamente subestima el paso de tiempo máximo estable al ignorar la compleja interacción entre las escalas convectivas y difusivas. Esta tesis aborda el desafío de "avanzar más rápido en el tiempo" mediante el desarrollo de un marco que integra un paso de tiempo adaptativo basado en la estabilidad con técnicas de álgebra lineal dispersa optimizadas para el hardware. La primera parte de esta tesis se centra en el desarrollo y la extensión de métodos de integración temporal autoadaptativos basados en el análisis espectral de los operadores que gobiernan las ecuaciones. Al implementar algoritmos como AlgEigCD en mallas staggered, se demuestra que el paso de tiempo máximo estable se puede determinar con precisión analizando la evolución de los valores propios de los operadores, en lugar de depender de la condición conservadora CFL. Este enfoque permite pasos de tiempo significativamente mayores sin comprometer la estabilidad o la precisión del método, lo que lleva a reducciones sustanciales en el tiempo computacional para las simulaciones de flujos incompresibles, sin sacrificar la precisión de los resultados. Asimismo, esta tesis extiende estos conceptos al ámbito del modelado de orden reducido (ROM, por sus siglas en inglés). Utilizando el teorema de separación de Poincaré para valores singulares, se establece una base teórica para demostrar que los límites de estabilidad de los operadores convectivos reducidos están acotados por los del sistema de orden completo. El algoritmo RedEigCD resultante permite a los ROMs sostener pasos de tiempo más grandes, aprovechando de manera efectiva su menor dimensionalidad para reducir aún más el tiempo total de ejecución. Finalmente, la investigación aborda el cuello de botella a nivel de hardware inherente a los solvers de CFD modernos, que frecuentemente se ven limitados por el ancho de banda de la memoria durante las operaciones algebraicas dispersas. Al explotar la estructura matricial repetida que se encuentra simulando múltiples estados de flujo simultáneamente en el tiempo, los productos matriz esparsa-vector se reemplazan por productos matriz esparsa-matriz. Esta transformación aumenta la intensidad aritmética de los cálculos, permitiendo un mayor rendimiento en las arquitecturas de hardware modernas. La efectividad de estas estrategias matemáticas y computacionales combinadas se valida a través de una serie de casos de prueba académicos e industriales, demostrando que se pueden lograr aceleraciones significativas sin comprometer la precisión o la estabilidad de las simulaciones. Este trabajo proporciona un camino práctico para acelerar las simulaciones CFD en aplicaciones del mundo real, al mismo tiempo que contribuye a la comprensión teórica de la estabilidad en los métodos numéricos para flujos incompresibles.