On Approximation by Δ-Convex Polyhedron Support Functions and the Dual of cc(X) and wcc(X)

Abstract

<jats:p> The classical Weierstrass theorem states that every continuous function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> defined on a compact set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega \subset\mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> can be uniformly approximated by polynomials. We show first that it is again valid if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a compact Hausdorff metric space, i.e., it holds in the following sense: there exists a surjective isometry <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">T</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> from a compact set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K_\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of a Banach sequence space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">S</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> to <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , such that for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varepsilon>0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> there is an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> variable polynomial <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">p</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfying <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|f(T(s))-p(s_1,s_2,\cdots,s_n)|<\varepsilon,\;\forall s=(s_j)\in K_{\Omega}.</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mtext>  </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">∀</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> We prove also that for any <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">weak</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ( <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-