On Diversities and Finite Dimensional Banach Spaces

Abstract

<jats:p> A diversity <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\delta</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a function defined over every finite set of points of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> mapped onto <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">[0,\infty)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , with the properties that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\delta(X)=0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> if and only if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|X|\leq 1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\delta(X\cup Y)\leq\delta(X\cup Z)+\delta(Z\cup Y)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , for every finite sets <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X,Y,Z\subset M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|Z|\geq 1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Its importance relies in the fact that, amongst others, they generalize the notion of metric distance. We characterize when a diversity <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\delta</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> defined over <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|M|=3</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , is Banach-embeddable, i.e. when there exist points <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">p_i</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">i=1,2,3</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mr