Smoothness in some Banach Spaces of Operators and Vector Valued Functions

Abstract

<jats:p> A well known criterion of Šmulyan states that the norm <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\|\cdot\|</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of a real Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is Gâteaux differentiable at <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x\in X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> if and only if there is <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x^*\in S_{X^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which is <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">w^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -exposed by <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{X^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and that the norm is Fréchet differentiable at <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> if and only if there is <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x^*\in S_{X^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which is <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">w^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -strongly exposed in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{X^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> by <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We show that in this criterion <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{X^*}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> can be replaced by a convenient smaller set, and we apply this extended criterion to characterize the points of Gâteaux and Fréchet differentiability of the norm in epsilon products of Banach spaces, extending previous work of Heinrich. As a consequence we get some results of smoothness of the norm in some Banach spaces of continuous and harmonic vector valued functions. </jats:p>