An Upper Bound for the Convergence of Integral Functionals

Abstract

<jats:p> Given a <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\sigma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -finite measure space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(\Omega, \mathcal{T}, \mu)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">T</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> endowed with a <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mu</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -complete tribe, a separable Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we consider a topological vector space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X,T)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> being a decomposable subspace of measurable <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -valued functions defined on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Under a reasonable assumption on the vector topology <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">T</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we show that if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{(f_{n})}_{n}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a sequence of extended real-valued measurable integrands defined on the product <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega\times E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , with upper epi-limit (or upper <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Gamma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -limit) <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f=ls_{e} f_{n}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , then <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">I_f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is in many cases an upper bound for the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">T</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -upper epi-limit of