Linear Operators on Vector-Valued Function Spaces with Mackey Topologies

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,E\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be an ideal of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,L^0\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> over a <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,\sigma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -finite measure space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,(\Omega,\Sigma,\mu)\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Σ</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E'</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the Köthe dual of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,(X,\|\cdot\|_X)\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a real Banach space, and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,X^*\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> the Banach dual of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,E(X)\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a subspace of the space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\,L^0(X)\,</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mu</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -equivalence classes of all strongly <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Sigma</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -measurable function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\def\si{\sigma}\def\Si{\Sigma}\def\om{\omega}\def\Om{\Omega}\def\ps{\rightarrow}\def\wf{\widetilde{f}}\def\wg{\widetilde{g}}\def\cl{{\cal L}}\,f:\Om\ps X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3