Characterizing Optimality for a Class of Nonconvex Quadratic Robust Optimization Problems Bilaterally Quadratically Constrained Under Interval Uncertainty
Abstract
<jats:p> This paper analyzes the following robust optimization problem: <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\smash{\min\Big\{\dfrac{1}{2}x^\top Ax+a^\top x:~\alpha\leq \dfrac{1}{2}x^\top Bx+b^\top x+c\leq\beta,~\forall~(B,b)\in{\mathcal B}_0\Big\}, }</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mpadded height="0px" depth="0px"> <mml:mrow> <mml:mi>min</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="true" minsize="1.8em" maxsize="1.8em">{</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">⊤</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">⊤</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">⊤</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">⊤</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">∀</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="true" minsize="1.8em" maxsize="1.8em">}</mml:mo> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mpadded> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{B}_0\doteq\{B_1+\mu B_2:\mu\in[\mu_1,\mu_2]\} \times\{b_1+\delta b_2:\delta\in[\delta_1,\delta_2]\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>≐</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , with all the matrices involved are real symmetric, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">a,b\in\mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\alpha,\beta,\delta_1,\delta_2,\mu_1,\mu_2</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub>