Exceptional Sets in Convex Domains

Abstract

<jats:p> Assume that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a strongly convex domain, balanced with boundary of class <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C^{1}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Fix number <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">p \geq 1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . For any set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which is circular and of type <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_{\delta}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\partial\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> we find a holomorphic function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f\in \mathbb{O}(\Omega)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E=E_{\Omega}^{p}(f)=\left\{ z\in \partial \Omega: \:\int_{|\lambda| <1} \left|f(\lambda z)\right|^{p}d\mathfrak{L}^{2}(\lambda)=\infty\right\}.</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo fence="true">{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo fence="true">∣</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="true">∣</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="fraktur">L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo fence="true">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> </jats:p>