On the Weak* Convergence of Subdifferentials of Convex Functions

Abstract

<jats:p> Let us assume that a sequence <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{ f_{n} \}_{n=1}^{\infty }</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of proper lower semicontinuous convex functions is bounded on some open subset of a weakly compactly generated Banach space. It is shown that if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{ f_{n} \}_{n=1}^{\infty }</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a Mosco converging sequence, then for every subgradient <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> at <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> there are subgradients <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x^{*}_{n}\in \partial f_{n}(x_{n})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{ x^{*}_{n} \}_{n=1}^{\infty }</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is weakly <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> converging to <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>