Continuity and Selections of the Intersection Operator Applied to Nonconvex Sets

Abstract

<jats:p> For a convex body <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in a Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> we consider the class <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\mathcal{S}}(C)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of closed sets <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A\subset E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfying the support condition with respect to <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . If <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a ball with radius <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">r</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , then <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\mathcal{S}}(C)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is exactly the class of uniformly <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">r</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -prox-regular sets. We prove that the intersection operator <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(A,C)\mapsto A\cap C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is uniformly Hausdorff continuous and has a uniformly continuous selection on the family of pairs <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(A,C)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is closed and uniformly convex, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">rA\in{{\mathcal{S}}}(C)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">r\in(0,1)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A\cap C\ne\emptyset</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo mathvariant="normal">≠</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi> </