On Semiconcavity via the Second Difference

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a continuous real function on a convex subset of a Banach space. We study what can be said about the semiconcavity (with a general modulus) of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , if we know that the estimate <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Delta_h^2(f,x) \leq \omega(\|h\|)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> holds, where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Delta_h^2(f,x) = f(x+2h)-2f(x+h) + f(x)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\omega:[0,\infty) \to [0,\infty)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a nondecreasing function right continuous at <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\omega(0) =0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . A partial answer to this question was given by P. Cannarsa and C. Sinestrari (2004); we prove versions of their result, which are in a sense best possible. We essentially use methods of A. Marchaud, S. B. Stechkin and others, whose results clarify when the inequality <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|\Delta_h^2(f,x)| \leq \omega(\|h\|)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> implies that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C^1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">