On Well Posed Best Approximation Problems for a Nonsymmetric Seminorm
Abstract
<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a closed convex (generally unbounded) subset of a Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> being an interior point of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a closed subset of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">T_{M}(A)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the set of all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x_{0}\in E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that the problem <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\smash{\min\limits_{a\in A}}\, \mu_{M} (x_{0}-a)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mpadded height="0px" depth="0px"> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi>min</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mpadded> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is well posed, where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mu_{M}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the Minkowski functional of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , so <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mu_{M}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a nonsymmetric seminorm. We obtain some asymptotic properties (appearance far from the origin) of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">M</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which are necessary and/or sufficient for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">S_{M}^{\mathop{\rm int}}(A)\setminus T_{M}(A)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>