On Maximal Domains for C-Convex Functions and Convex Extensions
Abstract
<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a real valued function with the domain <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\operatorname{dom}(f)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">dom</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in some vector space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathfrak{C}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the collection of convex subsets of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . The following two questions are investigated; 1. Do there exist maximal convex restrictions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">g</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\operatorname{dom}(g) \in \mathfrak{C}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">dom</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ? 2. If <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is convex with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\operatorname{dom}(f)\in \mathfrak{C}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">dom</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , do there exist maximal convex extension <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">g</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\operatorname{dom}(g)\in \mathfrak{C}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">dom</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ? We will show that the answer to both questions is positive under a certain condition on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathfrak{C}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>