Arithmetic properties of the Taylor coefficients of differentially algebraic power series

Abstract

<jats:p> Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>ℚ</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>〚</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>〛</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a solution of an algebraic differential equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> is a multivariate polynomial with coefficients in  <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>ℚ</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> . The sequence <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> satisfies a non-linear recurrence, whose expression involves a polynomial <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> of degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:math> . When the equation is linear, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> is its indicial polynomial at the origin. We show that when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> is split over <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℚ</mml:mi> </mml:math> , there exist two positive integers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:math> such that the denominator of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> divides <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , generalizing a well-known property when the equation is linear. This proves in this case a strong form of a conjecture of Mahler that Popken’s lower bound <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is not optimal. This also enables us to make Sibuya–Sperber’s bound <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mro