Approximation by DC Functions and Application to Representation of a Normed Semigroup
Abstract
<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a nonempty compact set of a locally convex space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">L</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C(\Omega)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the Banach space of all real-valued continuous functions on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Omega</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> endowed with the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\sup</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>sup</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -norm. In this paper, we show first that for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f\in C(\Omega)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varepsilon>0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there are continuous affine functions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(g_i)_{i=1}^m, (h_j)_{j=1}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">L</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for some <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">m,n\in\mathbb{N}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">|f(\omega)-[(g_1\vee g_2\vee\cdots\vee{g_m})-(h_1\vee h_2\vee \cdots\vee{h_n})](\omega)|<\varepsilon</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∨</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∨</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>∨</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∨</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∨</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>∨</mml:mo>