A Note on the Extension of Continuous Convex Functions from Subspaces

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a subspace of a real normed space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We say that the couple <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X,Y)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> has the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{CE}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -property (“convex extension property”) if each continuous convex function on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> admits a continuous convex extension defined on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . By using techniques of Johnson and Zippin, we prove the following results about the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{CE}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -property: if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">c_0(\Gamma)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -sum or the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\ell_p(\Gamma)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">ℓ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -sum ( <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">1<p<\infty</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ) of separable normed spaces, then the couple <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X,Y)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> has the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{CE}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -property, for each subspace <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Another similar result concerns weak <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">