The Biduality Problem and M-Ideals in Weighted Spaces of Holomorphic Functions

Abstract

<jats:p> Given a weight <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">v</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on an open subset <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\bf C}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_v(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> (resp. <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_{v_o}(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ) denotes the Banach space of holomorphic functions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">vf</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is bounded on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> (resp. converges to <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on the boundary of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">U</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ). We show that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_v(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is canonically isometrically isomorphic to the bidual of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_{v_o}(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> if and only if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_{v_o}(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is an M-ideal in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\cal H}_v(U)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub>