A Characterization of Injective Linear Transformations
Abstract
<jats:p> We prove a characterization of the injective linear transformations on real vector spaces: Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">m</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -dimensional and an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -dimensional real vector spaces <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(n \geq m \geq 2)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , respectively. Assume that a mapping <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f \colon X \to Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace width="0.1111em"/> <mml:mo lspace="0em" rspace="0.17em"/> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">:</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfies <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\rm dim} f(X) \geq 2</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f(o) = o</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">o</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> denotes the origin of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Then, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is an injective linear transformation if and only if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> maps every line in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> onto a (corresponding) line in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and preserves the ordering on line. </jats:p>