Deville's Master Lemma and Stone's Discreteness in Renorming Theory

Abstract

<jats:p> Banach spaces <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with an equivalent <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\sigma(X,F)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -lower semicontinuous and locally uniformly rotund norm, for a norming subspace <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">F\subset X^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , are those spaces <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> that admit countably many families of convex and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\sigma(X,F)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -lower semicontinuous functions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{\varphi_i^n:X \rightarrow {\mathbb R}^+; i \in I_n\}_{n=1}^\infty</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo separator="true">;</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that there are open subsets <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G_i^n \subset \{\varphi_i^n >0\} \cap\{\varphi_j^n =0: j\neq i, j \in I_n\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo mathvariant="normal">≠</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\{G_i^n: i\in I_n, n\in {\mathbb N}\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> a basis for the norm topology of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>