Approximation of Convex Sets by Homothetic Copies of Polyhedra

Abstract

<jats:p> We characterize the closed convex sets <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K \subset \mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which satisfy the following approximation condition: for any given point <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">v \in {\rm rint} K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and a scalar <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varepsilon > 0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , there is a polyhedron <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">P \subset \mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">v \in {\rm rint} P</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">P \subset K \subset v + (1 + \varepsilon)(P - v)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>