Extreme Points of Convex Sets

Abstract

<jats:p> Given a nonempty set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E \subset {\mathbb{R}}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we provide necessary and sufficient conditions for the existence of a convex set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K \subset {\mathbb{R}}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> (possibly, nonclosed and unbounded) such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{ext\,}K = E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Also, we describe a family of convex sets <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K \subset {\mathbb{R}}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfying the equality <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K = \mathrm{conv\,}(\mathrm{ext\,}K)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and, more general, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K = \mathrm{conv\,}(\mathrm{ext\,}K) + \mathrm{rec\,}K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{rec\,}K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> denotes the recession cone of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>