On Stability of Solutions to Systems of Convex Inequalities

Abstract

<jats:p> For systems of relations <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varphi_t(x)\le p_t,\; t\in T</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mtext>  </mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Ax=y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">T</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is an arbitrary set, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varphi_t</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a convex l.s.c. function on a Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">t</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a linear bounded operator from <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> into another Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , we discuss the following three problems: (a) stability of solutions with respect to variations of the right hand side; (b) effect of linear perturbations of functions <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\varphi_t</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and mapping <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ; (c) distance to infeasibility (the minimal norm of linear perturbations that make the system infeasible.) </jats:p>