A Note on n-Subhomogeneity of Periodic Extension of Convex Functions
Abstract
<jats:p> We prove that the T-periodic extension of a convex function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f_{1}:[0;T[ \rightarrow [0;+\infty[</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">;</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo separator="true">;</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , is n-subhomogeneous if and only if <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A = \lim_{x\to 0^{+}} f_{1}(x)\leq nf_{1}(k \frac{T}{n}) \quad \text{and} \quad B = \lim_{x\to T^{-}}f_{1}(x)\leq nf_{1}(k \frac{T}{n})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi>lim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi>lim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">−</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> for every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">k=1,2,...,n-1, (n\geq 2)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>