On Lambda-Convexity Conditions in the Theory of Lower Semicontinuous Functionals

Abstract

<jats:p> Consider the functional <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">I_f(u)=\int_\Omega f(u(x))\, dx</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">u=(u_1,\dots,u_m)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Assume additionally that each <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">u_j</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is constant along <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">W_j</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , some subspace of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\bf R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We find the family of cones <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Lambda</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\bf R}^m</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that every <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Lambda</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -convex function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> defines a functional <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">I_f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which is lower semicontinuous under the sequential weak <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> convergence in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">L^\infty (\Omega,{\bf R}^m )</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Then we apply our result to functionals acting on distributional kernels of differential operators. We also discuss the relations of our problem to the rank–one conjecture of Morrey. </jats:p>