A Generalization of Blaschke's Convergence Theorem in Metric Spaces

Abstract

<jats:p> A metric space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X, d)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> together with a set-valued mapping <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G: X\times X\to 2^X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is said to be a generalized segment space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X, d, G)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G(x, y)\not=\emptyset</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> for all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x, y\in X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and for any sequences <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">x_n\to x</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">y_n\to y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">d_H\big(G(x_n, y_n), G(x, y) \big) \to 0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="true" minsize="1.2em" maxsize="1.2em">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="true" minsize="1.2em" maxsize="1.2em">)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> as <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">n\to \infty</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">d_H</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the Hausdorff distance. Normed linear spaces, nonempty convex sets, and proper uniquely geodesic spaces, etc are generalized segment spaces for suitable <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">G</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mm