Формулы для расчета прогибов девятигранной башни
Abstract
Постановка задачи. Предлагается схема статически определимой шарнирно-стержневой осесимметричной фермы башенного типа, имеющей девять вертикальных граней с опорами на девять вертикальных стоек, сферический и цилиндрический шарниры. Выводятся формулы зависимости реакций опор, усилий в характерных стержнях и прогиба вершины фермы от нагрузок, размеров и числа панелей по высоте конструкции. Материалы и методы. Формулы для усилий в стержнях и реакции опор выводятся методом индукции из решения задачи статики фермы. Для составления и решения рекуррентных уравнений, которым удовлетворяют элементы последовательностей усилий при различном числе панелей фермы, используется система символьной математики Maple. Жесткость конструкции рассчитывается по интегральной формуле Максвелла — Мора в предположении, что жесткость всех стержней фермы одинаковая. Результаты. Получены формулы для расчета прогиба вершины башни с произвольным числом панелей по высоте под действием нескольких видов узловых нагрузок. Выведены формулы для расчета реакций опор конструкции. Выводы. Рассмотренная математическая модель шарнирно-стержневой башенной конструкции позволяет найти в замкнутой форме аналитическое решение задачи о напряженном состоянии и деформациях для различных видов узловых нагрузок. Предложенный алгоритм вывода расчетных формул может быть применим в других регулярных статически определимых конструкциях. Statement of the problem. A design for a statically determinate, axisymmetric, pin-and-rod tower truss is proposed. It has nine vertical faces supported by nine vertical posts, spherical hinges, and cylindrical hinges. Formulas are derived for the dependence of support reactions, forces in characteristic rods, and truss crown deflection on loads, dimensions, and the number of panels along the height of a structure. Materials and methods. Formulas for the forces in the members and the support reactions are derived by induction from the solution of the truss statics problem. The Maple symbolic mathematics system is used to construct and solve recurrence equations satisfied by the elements of the force sequences for different numbers of truss panels. The structural rigidity is calculated using the Maxwell — Mohr integral formula, assuming that the rigidity of all truss members is identical. Results. Formulas were obtained for calculating the deflection of a tower's top with an arbitrary number of panels along its height under several types of nodal loads. Formulas were derived for calculating the reactions of the supports of a structure. Conclusions. The mathematical model of the examined hinged-rod tower structure allows for a closed-form analytical solution to the stress and strain problem for various types of nodal loads. The proposed algorithm for deriving calculation formulas can be applied to other regular, statically determinate structures.