Аналитическое решение систем «реакция-диффузия» с иерархическими взаимодействиями

Abstract

В работе исследуется задача Коши для системы уравнений параболического типа с постоянными коэффициентами и верхнетреугольной матрицей взаимодействия. Доказана теорема о структуре решения и получены явные формулы для компонент через матричное фундаментальное решение. В общем случае произвольной (не верхнетреугольной) матрицы взаимодействий аналитическое решение системы не может быть получено в явном замкнутом виде, аналогичном формуле Пуассона для уравнения теплопроводности.Стандартный метод разделения переменных и представления решения через собственные функции становится неприменимым из-за несамосопряженности оператора при произвольной матрице взаимодействий. Это связано с тем, что операторы диффузии и взаимодействия не коммутируют в общем случае, что приводит к необходимости использования ряда Дайсона для получения решении. Основной результат состоит в получении необходимыхи достаточных условий обрыва ряда Дайсона, что позволяет получить точное решение в виде конечной суммы.